Maths:औसत का ट्रिक्स//गणित के प्रश्नोत्तर
औसत क्या है?
= 33/13
= 2.54
अगर प्रश्न रहेगा कि 1 किमी की दूरी तक नदी की औसत चौड़ाई कितनी है?
तो, नदी की औसत चौड़ाई का मतलब अगल अलग बिन्दु पर
मापने के बाद जो चौड़ाई का मान अधिकतम बिन्दु पर मापा गया, लगभग वही औसत चौड़ाई होंगे।
औसत निकालने का सूत्र क्या है?
औसत = संख्याओं का कुल योग/संख्याओं की कुल संख्या
Q. 1 से 5 तक के संख्याओं का औसत निकाले।
हल: 1 से 5 तक के संख्याओं का कुल योग
= 1+2+3+4+5
= 15
कुल संख्याएँ = 5
औसत = 15/5
= 3 ans.
लगातार प्रकृत संख्याओं का औसत यदि कुल संख्याओं की संख्या सम या बिषम हो।
A. लगातार प्रकृत संख्याओं का औसत यदि दिए संख्याओं की संख्या बिषम हो।
क) 1,2,3 का औसत = 2
ख) 1,2,3,4,5 का औसत = 3
ग) 1,2,3,4,5, 6,7 का औसत= 4
घ) 1,2,.........,8,9, का औसत= 5
ङ) 1,2,3,....9,10,11 का औसत = 6
यहां पर स्पष्ट है कि दिए गए संख्याओं की संख्या बिषम है तो अंतिम संख्या के बाद के संख्या का आधा ही औसत होंगे।
3 के बाद का संख्या 4 का आधा - 2
5 के बाद के संख्या 6 का आधा - 3
Q. 1 से लेकर 157 तक के लगातार प्रकृत संख्याओं का औसत ज्ञात करें।
हल :- 157 से आगे का संख्या - 158
158 का आधा = 79 ans.
अन्य विधि:- 157 तक के संख्याओं का कुल योग
= (157 ×158)/2
= 157 × 79
औसत = कुल योग/कुल संख्या
= (157 × 79)/ 157
= 79 ans.
नोट: n लगातार प्रकृत संख्याओं का योग = {(n)(n+1)}/2
Q. 599 तक के लगातार प्रकृत संख्याओं का औसत ज्ञात करें।
हल: 599 से आगे का संख्या = 600
600 का आधा = 300 ans.
B. लगातार प्रकृत संख्याओं का औसत यदि दिए गए संख्याओं की कुल संख्या सम संख्या हो।
ख) 1,2,3,4,5,6 का औसत = 3.5
ग) 1,2,3,4,5,6,7,8 का औसत = 4.5
यहां पर (अंतिम संख्या का आधा + .5 ) औसत है।
Q. 1 से लेकर 100 तक के लगातार प्रकृत संख्याओं का औसत ज्ञात करें।
हल: अंतिम संख्या = 100
100 का आधा= 50
इसलिए, औसत = 50.5 ans.
दूसरा विधि: 100 तक लगातार प्रकृत संख्याओं का कुल योग
= (100× 101)/2
= 50 × 101
= 5050
औसत = कुल योग / कुल संख्या
= 5050/100
= 50.5 ans.
•क्रिकेट से संबंधित औसत प्रश्नों का हल
Q. क्रिकेट खेल में एक खिलाड़ी ने निम्न रन बनाए:-
प्रथम पारी - 2
दूसरा पारी - 4
तीसरा पारी - 6
खिलाड़ी द्वारा बनाए गए रनों का औसत ज्ञात करें।
हल:- कुल रन = (2+4+6)
= 12
कुल पारी = 3
औसत = 12/3
= 4 ans.
• कुल पारी × औसत = कुल रन
Q. 19वीं परी मे 98 रन बना कर एक क्रिकेट खिलाड़ी की औसत रन संख्या में 4 की वृद्धि हुई। 19 पारियों के बाद उसकी औसत रन संख्या कितनी थी?
हल:- कुल पारी = 19
कुल रन = कुल पारी × औसत
= 19 × ( x +4)
18 पारी का कुल रन = 18x
अब, 18x + 98 = 19x + 76
98-76 = 19x - 18x
X= 22
इसलिए,19 पारी के बाद रन औसत= 22+ 4
= 26 ans.
Q. किसी क्रिकेट खेल में 5 खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रनों का औसत 40 है। पांचवाँ खिलाड़ी 20 रन बनाए थे तो बाकी खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रनों का औसत ज्ञात करें।
हल:- 5 खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रनों की कुल संख्या
= 5 × 40
= 200
4 खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रनों की कुल संख्या
= 200 - 20
= 180
4 खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रनों का औसत
= 180/4
= 45 ans.
•औसत चाल और वेग से संबंधित प्रश्न
कोई वस्तु एक निश्चित दूरी x चाल से तय करती है और y चाल से वापस आ जाती है।
औसत चाल = (2xy)/(x+y)
Q. एक कार एक निश्चित दूरी को 40Km/h की चाल से तय करती है और वापस 30 Km/h की चाल से आ जाती है। औसत चाल ज्ञात करें।
हल: 2xy =2 × 40 × 30
= 2400
x +y = 30 +40
= 70
इसलिए, औसत चाल = 2400÷70
= 34.3 km/h ans.
•अगर समान दूरी तीन असमान चालों x किमी/घंटा, y किमी/घंटा तथा z किमी/घंटा की चाल से तय की है।
औसत चाल = (3xyz)÷ (xy + yz + zx)
• आयु से संबंधित औसत के प्रश्न
सूत्र :- औसत = कुल आयु/कुल व्यक्ति संख्या
औसत × कुल व्यक्ति संख्या = कुल आयु
Q. एक कक्षा में 15 लड़कों की औसत आयु 11 वर्ष है।यदि 9 वर्ष औसत उम्र के 5 लड़के और शामिल हो जाए तो इनके औसत उम्र क्या होंगे?
हल: 15 लड़कों की कुल आयु = 15 × 11
= 165
बाद के 5 लड़कों का कुल आयु = 5 × 9
= 45
कुल आयु = (165 + 45)
= 210
कुल लड़के = 15+5
= 20
इसलिए औसत = 210÷20
= 10.5 ans.
•वर्गों और घनों का औसत
• लगातार n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत
Q. निम्नलिखित वर्ग संख्याओं का औसत ज्ञात करें।
1²,2²,3²,4²,5²,6²,7²,8²,9² और 10²
हल: अंतिम संख्या = 10
अंतिम संख्या के बाद का संख्या = 11
10 +11 = 21
औसत = (21 ×11)/6
= 38.5 ans.
Q. 1 से लेकर 50 तक के लगातार प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत निकाले।
हल : अंतिम संख्या = 50
उसके बाद का संख्या= 51
50 +51= 101
औसत = (51×101)÷6
= 858.5 ans.
सूत्र: लगातार n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत
(n+1)(2n+1) ÷ 6
लगातार n प्राकृत संख्याओं के घनों का औसत
{n(n+1)}² ÷4
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